Å veie gåter som øvelser i logikk

Vi er nesten aldri bevisst klar over at vi bruker logikk for å løse hverdagslige problemer. Men hva er logikk? Er logikken som brukes for å bevise teoremer i matematikk den samme typen som vi bruker for våre praktiske problemer?

Den amerikanske filosofen Charles Peirce skilte mellom to hovedtyper av logikk—logica redskaper (en praktisk logikk) og logica docens (en teoretisk logikk). Førstnevnte er en instinktiv form; sistnevnte er en lærd form som praktiseres av matematikere, detektiver og leger. Fordi alle har det førstnevnte, kreves det ingen spesiell opplæring for å forstå hva mange logiske gåter handler om eller hva man skal gjøre for å løse dem. Imidlertid kan det være nødvendig å bruke formelle logiske strukturer, for eksempel algebra, for å løse andre.

Det kreves ulike typer logikk for å løse såkalte veie- og måleoppgaver, som går tilbake til middelalderen. En av de første klassiske gåtene i denne sjangeren spores til den franske matematikeren Claude-Gaspar Bachet de Méziracs samling fra 1612, Morsomme og herlige nummerproblemer.

Siden den gang har lignende gåter blitt funnet i antologiene til praktisk talt alle puslespillmesterne. Som du vil se, tester disse hjernens evne til å bruke distinkte typer logikk, fra en praktisk "hvis-da"-logikk til modellering av gitt informasjon (med litt algebra). Hver enkelt presenterer dermed en spesifikk logisk utfordring, og viser selve logikken. Merk at det er andre måter å løse gåtene på enn løsningene som er gitt her, noe som indikerer at logikk ikke er monolittisk.

Eksempler

1. Det er seks biljardballer med identisk utseende. Den ene veier mindre enn de andre. Hvordan kan den identifiseres på en vekt med bare to veiinger?

2. Det er nå syv slike kuler, hvorav en veier mindre enn de andre. Hva er minst antall veiinger som må være sikker at den skyldige ballen kan identifiseres?

3. Dette puslespillet er basert på et fra Sam Loyds 1914 Cyclopedia of 5000 Puzzles. Jamila la en enkelt hel murstein på en panne av en balansevekt. Hun fikk likevekt da hun satte en annen murstein som veide tre fjerdedeler av den opprinnelige sammen med en vekt på tre fjerdedeler på den andre pannen. Hvor mye veide den originale mursteinen?

4. En hund og kattunge veier sammen 55 pounds. Hunden veier 50 pund mer enn kattungen. Hvor mye veier hver?

5. Dette puslespillet ble inkludert av Nicolas Chuquet i sin bok fra 1484, Treparti om tallvitenskapen. Det er to tomme krukker med kapasitet til å holde henholdsvis 5 og 3 halvlitere. Hvordan kan vi få nøyaktig 4 halvlitere ved å bruke et fat med en uspesifisert mengde væske i?

6. Fordel seks vekter på 1 pund, 2 pund, 3 pund, 4 pund, 5 pund og 6 pund i tre bokser, A, B og C, slik at hver enkelt vil ha samme totalvekt. Når de er tomme, veier boksene det samme.

7. Vær forsiktig med dette siste puslespillet. Les den nøye. En stor hund settes på en hjemmevekt. Men han er så stor at bare tre av de fire beina hans får plass på vekten. Vekten viser 50 pund. Hvor mye regner du med at hunden veier når den står på alle fire bena?

Svar nedenfor...

1. Del de seks kulene i to sett med tre kuler hver. Legg tre kuler på hver panne (første veiing). Pannen som går opp inneholder ballen som veier mindre. Kast de på den andre pannen. Deretter legger du to av de "mistenkte" tre ballene på hver panne, og setter den tredje ballen til side. Hvis panner balanse, så er den skyldige ballen den vi setter til side. Hvis de ikke gjør det, vil pannen som går opp inneholde det. Uansett vil den andre veiingen identifisere den skyldige ballen.

2. Del ballene i to sett med tre, sett den syvende til side. Legg tre kuler på hver panne (første veiing). Hvis pannene balanserer, så, ved eliminering, er den skyldige ballen den vi hadde lagt til side. Dette er imidlertid et heldig utfall, som ikke kan garanteres. Så vi må anta at pannene ikke balanserer. Den skyldige ballen er på pannen som går opp. Vi eliminerer fra vurdering alle de andre ballene. Vi setter en av de tre mistenkte ballene til side, og legger de to andre på separate panner (andre veiing). Hvis pannene balanserer, er den skyldige ballen den på siden. Hvis de ikke gjør det, er det på pannen som går opp, uansett, etter den andre veiingen vil vi sikkert ha identifisert den skyldige ballen.

3. La x stå for vekten til den originale mursteinen. Den andre pannen besto av en murstein som veide tre fjerdedeler av vekten til den originale mursteinen, eller ¾x, pluss en ¾ pund vekt. Dette tilsvarte vekten, x, av den originale mursteinen. Så, x = ¾x + ¾, og dermed x = 3. Den originale mursteinen veide 3 pund.

4. La x stå for kattungens vekt. Derfor veier hunden x + 50 (50 pund mer). Sammen veier de 55 pund: x + x + 50 = 55. Løsning, får vi x = 2½. Kattungen veier dermed 2½ pund og hunden 52½ pund

5. Det er noen måter å gjøre dette på. Her er en. (1) Fyll 5-liters glasset fra fatet. (2) Fyll 3-liters krukken fra 5-pints, og la 2 pints være igjen i 5-liters krukken. (3) Tøm 3-liters glasset tilbake i fatet. (4) Hell de 2-pints som er igjen i 5-pint-beholderen i 3-pint-beholderen. (5) Fyll 5-liters glasset fra fatet. (6) Hell væske i 3-liters glasset fra 5-liters glasset. Dette vil legge til en halvliter til 3-liters krukken, for totalt 4 pints.

6. Hver boks vil inneholde syv pund ved å fordele vektene som følger: A = 6 + 1 pund, B = 4 + 3 pund, C = 2 + 5 pund.

7. Hunden veier 50 kilo, uansett om den står på fire ben eller på tre. De 50 kiloene som er angitt av skalaen inkluderer alle fire bena – selv om det ene er hevet. Du ble advart.